Anualidades I. Anualidades Vencidas
1. Lucía tiene en su poder los siguientes documentos: • Catorce letras de S/. 8,000 cada una. La primera vence al comenzar el noveno mes, a partir de hoy. Las siguientes vencen en intervalos de un mes. • Diez letras de S/. 6,000 cada una. La primera vence al final del séptimo mes. Las siguientes vencen en intervalos de dos meses. La tasa de liquidación de estos documentos es de 12.6825% anual. Le ofrecen comprar todo el paquete de documentos, ¿cuánto es lo mínimo que debería cobrar?

2. El Sr. Dulanto viene depositando en el Banco Mundo cuotas de US$ 1,527.18 al final de cada mes con el propósito que a su muerte el saldo de la cuenta sea entregado a su hijo. Dos meses después de la muerte del sr. Dulanto se le notificó al hijo que la podía retirar los US$ 35,000.00 del saldo de la cuenta. Si la cuenta pagaba una TEA del 15%, ¿durante cuántos meses depositó el Sr. Dulanto?

3. Ciro Bazán desea comprar un nuevo motor que cuesta S/. 2,000 al contado. El dueño le ofrece que haga un solo pago de S/. 3,000 dentro de seis meses. Ciro le propone pagar una cuota inicial de S/. 700 y el resto pagarlo en cuotas iguales al final de cada mes durante doce meses. ¿Cuál sería el pago periódico mensual que Ciro tendría que hacer?

4. Si deposito S/. 2,000 en la Caja Rural de Piura al final de cada mes esperando retirar un monto de S/. 56,489.40, ¿cuánto tiempo debería permanecer el dinero en la cuenta si se sabe que la Tasa Efectiva Anual que paga es de 12.6825%?

5. Juan López abre hoy una libreta de ahorros con S/. 8,000 en el Banco Popular, cuenta que paga una tasa anual de 19.5618%. El Sr. López está analizando la posibilidad de comprarse unos artefactos para implementar su hogar y se ha dado un plazo de doce meses para contar con S/. 20,000 en su libreta y así poder comprar los artefactos al contado. ¿Cuánto tendría que depositar cada fin de mes para que el decimosegundo mes cuente con el saldo deseado?

6. La Universidad San Martín piensa adquirir un ómnibus para transporte de los alumnos, que tiene un valor de US$ 50,000. Debido a una reciente falta de liquidez proponen financiar la compra mediante cuotas trimestrales vencidas durante seis años. El vendedor acepta, cobrando una TEA del 38%. Al final del tercer año la Universidad solicita refinanciar el monto adeudado en la fecha en cinco años con cuotas semestrales vencidas. El vendedor acepta pactándose una tasa efectiva de 20% semestral. ¿Cuál será el monto de las nuevas cuotas semestrales?

7. Pedro tiene hoy tres deudas: la primera de S/. 10,000 que debe pagar dentro de dos años pactada a una tasa del 4% efectiva mensual; la segunda de S/. 8,000 que debe pagar dentro de tres años pactada a una tasa del 50% capitalizable semestralmente; y la tercera de S/. 5,000 que vence dentro de cuatro años pactada a una tasa del 60% efectivo anual. Si después de veinticinco meses plantease pagar el 50% de sus tres deudas y el saldo en seis cuotas trimestrales, y si le aceptasen la propuesta cobrándole una tasa del 60% efectiva anual, ¿cuál sería el monto de las nuevas cuotas?

8. Mario contrajo una deuda de S/. 10,000 con el banco, que pagaría al final de cada mes durante cinco años a una TEA del 26.8242%. Al finalizar el segundo año y luego de pagar la cuota correspondiente al mes se pregunta: ¿Cuánto tendría que pagarle al banco para que mis cuotas mensuales que aún no han sido pagadas sean de solo S/. 200? Quiere decir esto que si tenemos una tasa efectiva anual del 24%, para determinar su equivalente nominal mensual no se puede dividir por 12. En su lugar, hay que aplicar una formula un poco complicada. Supongamos una tasa efectiva anual del 24% y debemos determinar la tasa nominal anual equivalente. Bien, para ello aplicamos la siguiente fórmula: N=[(1+TE)^(1/n)-1]x12 N=[(1,24)^(1/12)-1]x12 = 21,71% Quiere decir esto que 21,71% nominal es equivalente a 24% efectiva anual. Lo que esta fórmula hace es tomar 1 y sumarle la tasa efectiva [1+TE] y elevarlo a la potencia 1/n ^(1/n), y a ese resultado restarle 1. En Excel tendríamos la siguiente fórmula: =((1,24)^(1/12)-1)*12 Ahora, si 21,71% es la tasa nominal anual, para determinar cuánto es la tasa nominal mensual, pues dividimos por 12 y tendremos 21,71/12 = 1,81%. Si queremos determinar la tasa equivalente trimestral dividimos por 4; si la queremos semestral dividimos por 2. De esta forma, partiendo de una tasa efectiva anual podemos determinar una tasa nominal equivalente, ya sea mensual, trimestral, semestral o anual.

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II. Anualidades Adelantadas

9. Usted desea realizar un viaje a Huaraz, que al contado cuesta US$ 800. Una agencia de viajes, deseando facilitarle el viaje, le propone no pagar nada ahora y hacer un pago único de US$ 926.10 dentro de tres meses, o si no desea esta forma, le propone realizar diez pagos mensuales al inicio de cada mes. Usted acepta esta segunda forma de pago, pero posteriormente desea cancelar el saldo de su deuda al final del cuarto mes. ¿Cuánto tendría que pagar para liquidar su cuenta, incluyendo la cuota correspondiente al periodo?

10. El Sr. Corcuera necesita tener en el futuro una entrada mensual de dinero a fin de cubrir los estudios universitarios de su hijo. Para esto decide colocar un determinado capital en una cuenta bancaria con el objeto que dentro de cinco años, al comienzo de cada mes, durante seis años, pueda retirar S/. 600 al mes. Si la Tasa Efectiva Anual que paga la cuenta es de 15%, ¿cuál es el capital inicial que deberá colocar?

11. Se vende un inmueble valorizado en US$ 500,000, pagándose una cuota inicial de US$ 150,000. El comprador acuerda pagar el saldo con un interés de 1.5% efectivo mensual, mediante cuarenta y ocho pagos mensuales iguales al inicio de cada mes. El primer pago tiene vencimiento dentro de un año. ¿Cuál es el monto del pago mensual?

12. La Sra. Chávez quiere adquirir un departamento y le ofrecen dos alternativas de financiamiento: a) Inicial de US$ 10,000 y 120 cuotas mensuales adelantadas de US$ 400 a una TEA del 9%. b) Inicial de US$ 15,000 y 96 cuotas mensuales adelantadas de US$ 400 a una TEA del 9% ¿Cuál de las alternativas le conviene más?

13. Emilia está pensando casarse, por lo que desea comprar al crédito, y todos juntos, una cocina, una refrigeradora y un televisor. El vendedor le prepara la siguiente proforma: • Cocina: Doce cuotas mensuales adelantadas de S/. 150 cada una. • Refrigeradora: Diez cuotas mensuales adelantadas de S/. 250 cada una. • Televisor: Ocho cuotas mensuales adelantadas de S/. 100 cada una. La tasa de interés mensual usada por la financiera asociada a la empresa vendedora es de 4%. Por curiosidad Emilia le pregunta al vendedor en cuántos meses cancelaría todos sus artefactos si pagase cuotas mensuales adelantadas de S/. 237.61.

14. María hipoteca su casa por un valor de US$ 25,000, comprometiéndose a efectuar pagos mensuales de US$ 300 por adelantado durante veinte años. Al final del año doce, antes de cancelar la cuota del periodo, decide pagar el 50% de la deuda pendiente y cancelar US$ 297.40 mensuales a partir de la fecha. ¿Por cuántos meses más deberá pagar para cancelar su deuda?

15. La empresa Zurita S.A.C. contrae una deuda con el banco por US$ 150,000, pagadera en cinco años con cuotas mensuales adelantadas a una tasa de 1.5% efectiva mensual. Al finalizar el tercer año, y después de haber efectuado el trigésimo sexto pago, se plantea lo siguiente: ¿Cuánto tendría que pagar al banco en ese momento para que en el futuro sus cuotas mensuales sean de solo US$ 2,500 y que se paguen al final de cada mes?

16. Pedro tiene en su poder los siguientes documentos: • Diez letras de S/. 7,000 cada una. La primera vence al comenzar el octavo mes. A partir de entonces, el resto vence en intervalos de dos meses. • Ocho letras de S/. 9,000 cada una. La primera vence al final del sexto mes. A partir de entonces, el resto vence en intervalos de tres meses. Si la tasa de liquidación de estos documentos es de 2% mensual y le ofrecen comprar todo el paquete, ¿cuánto es el monto mínimo que debería aceptar?

III. Anualidades Perpetuas

17. Una empresa de seguros vende una póliza de las siguientes características: cobro de una prima constante de US$ 80 mensuales durante doce años. A cambio la empresa de seguros ofrece pagarte US$ 5,000 al inicio del año trece y desde entonces y de por vida US$ 100 mensuales. ¿Es conveniente tomar el seguro si la tasa de interés es de 9% efectiva anual?

18. Una madre de familia gana actualmente S/. 3,500 mensuales. Ella desea ahorrar desde ahora para poder afrontar los gastos que le ocasionen los estudios universitarios de sus hijos. Se propone ahorrar a partir del siguiente mes el 10% de su sueldo en una cuenta bancaria que le paga una TEA del 12% y el banco le ofrece las siguientes alternativas de devolución de sus ahorros: a) Retirar todo el dinero al final del año quince. De elegir esta opción, el banco le asegura una TEA preferencial de 15%. b) Retirar el dinero en cuotas mensuales, después de haber ahorrado por quince años. De elegir esta opción, el banco se compromete a pagarle S/. 400 mensuales de por vida, monto que se incrementará 0.1% cada mes. ¿Qué alternativa le recomendaría que tome?

19. Juan Pablo acaba de ganarse la lotería y en breve tendrá que decidir cómo cobrar el dinero ganado. La empresa que organiza la lotería le ofrece las siguientes tres alternativas de pago: a) Quince cuotas mensuales de S/: 60,000. b) Cobrar mensualmente y de manera perpetua cuotas de S/. 5,000. c) Cobrar ocho cuotas anuales de S/. 130,000. d) Cobrar un millón de soles después de tres años. Si la TEA es de 8.75%, ¿qué alternativa le recomendaría?

20. Como ganador de un concurso de cereales para el desayuno, usted puede elegir uno de los siguientes premios: a) US$ 100,000 ahora. b) US$ 180,000 dentro de cinco años. c) US$ 12,000 anuales a perpetuidad. d) US$ 19,000 anual por los próximos diez años. e) US$ 7,600 dentro de un año, y luego recibir pagos anuales perpetuos que aumentarán 5% anual. Si el tipo de interés es de 12% anual, ¿cuál es el premio más valioso para usted?

21. El Sr. Álvarez recibió una herencia de su hermano, que cobrará con un pago hoy de US$ 100,000 y US$ 30,000 al final de cada mes de forma perpetua. Considerando una tasa de interés de 1.5% efectiva mensual, calcule el monto de la herencia.

22. ¿Cuál es la tasa de interés anual que debe exigir a una inversión de S/. 30,000 para recibir S/. 8,500 al final de cada año de forma perpetua? IV. Anualidades Perpetuas en Acciones Comunes y Bonos

23. Backus S.A.A. está a punto de pagar un dividendo de S/. 3 por acción. Los inversionistas prevén que el dividendo anual se incrementará 6% cada año y de forma permanente. La tasa de interés aplicable es de 11%. ¿Cuál sería el precio de la acción hoy?

24. La empresa Calixto S.A.A. se disculpó ante sus accionistas en su informe corporativo más reciente por no haber pagado un dividendo. El informe indicaba que la gerencia pagaría un dividendo de S/. 2 el próximo año, y a partir de entonces se incrementaría 4% cada año de forma perpetua. ¿Cuánto debería pagar por una acción de la empresa si la tasa de descuento es de 12% anual?

25. Se espera que Telefónica S.A.A. pague un dividendo de S/. 5.50 por acción el próximo año. También se espera que este dividendo crezca a una tasa anual de 8% de manera perpetua. ¿Qué precio esperaría que tenga la acción de Telefónica S.A.A. si la tasa de descuento apropiada es de 12%?

26. Suponga que un inversionista acaba de pagar S/. 50 por acción común de la empresa Casa Grande S.A.A. Las acciones pagarán un dividendo de S/. 2 por acción el próximo año, y se espera que crezca 10% en el futuro inmediato. El inversionista cree que pagó el precio adecuado, considerando su valoración de los riesgos de la empresa. ¿Cuál es la tasa de rentabilidad que espera el inversionista?

27. Se ha publicado la siguiente información sobre un instrumento financiero emitido por una empresa local: • Emisor: Backus S.A.A. • Tipo: Bono Corporativo • Fecha de emisión: Hoy • Tasa cupón: 8.12% nominal anual con pagos trimestralmente • Periodo de vencimiento: Indeterminado • Valor Facial: US$ 5,000 • Tasa de Mercado (TEA): 9.6% Si después de tres años de tener el bono lo deseo vender, sabiendo que en esa fecha la TEA del mercado será 12%, ¿cuál ha sido la ganancia o la pérdida anualizada, RCYTM?

28. Un inversionista ha comprado un bono perpetuo en US$ 9,859.79 hace nueve meses. El bono tiene un valor facial de US$ 10,000 y paga una tasa cupón de 5.96% efectiva anual con pagos mensuales. Hoy, en que la tasa de mercado es de 7% efectiva anual ha vendido el bono. ¿Fue beneficiosa la transacción?

29. Calcule el precio al cual se está negociando un bono perpetuo que paga una tasa cupón de 12% efectiva anual con pagos semestrales y tiene un valor facial de US$ 1,000, si la tasa de mercado hoy es de 11% efectiva anual.

30. Hoy se está negociando un bono perpetuo de las siguientes características: • Valor Facial: US$ 5,000 • Tasa cupón: 6.89% nominal anual • Periodo de pago. Anual Hoy la tasa de mercado es de 8% efectiva anual. Si después de tres años de haber comprado el bono decidiese venderlo, estimando que la tasa de mercado será 7.3% efectiva anual, calcule la rentabilidad de la transacción anualizada, RCYTM.

Referencias bibliográficas: • Valera, R. (2012). Matemática Financiera, conceptos, problemas y aplicaciones. Piura: Universidad de Piura.